Newton 2022年12月号【感動する数学】

Newton(ニュートン) 2022年12月号 [雑誌]

　今年の記事総索引が分野別に整理されている。それを見ると、やはり圧倒的に天文学や宇宙に関する話題が多い。
　医療・生命科学、コンピューター・テクノロジー、自然・生物などはほぼ毎月なにかしらの情報が提供される。数学は均せば2か月に1本くらい。
　逆に、あまり力を入れていないのが化学の分野である。

　感動する数学
　三平方の定理の証明は100以上あるらしいが、ここで紹介されるのはアインシュタインが考案した方法。
　直角三角形ABCの斜辺cから角C（直角になる角）に垂線を引く。三角形ABCの内側にも2つの直角三角形ができる。これら3つの三角形は相似である。相似比はc :a :bであり、面積比はc² :a² :b²である。三角形ABCの面積は、小さな2つの三角形の和に等しいから、kc² = ka² + kb²となり、両辺をkで割って（k≠0）、c² = a² + b²が得られるのである。
　比率から導くというのはなかなかエレガントである。

　ちなみに、小学生でも分かる簡単な方法。
　a+bを一辺とする正方形をつくる。辺の内側に辺aと辺bが角を挟むような直角三角形を4つつくる。4つの斜辺cでできた四角形は正方形なので（証明は中学生にならないとできないかもしれないが）、その面積はc²である。
　三角形を移動させて長方形を2つつくってあげると、もともとc²だった平面は、aを一辺とする正方形と、bを一辺とする正方形を合成したものに変形される。よってc² = a² + b²が導かれるのである。
　同じことは、a+bを一辺とする大きな正方形から4つの三角形の面積を引くことでも表現できる。式の展開ができるのであれば、これを計算してもよい。